Personal tools
Document Actions

401. Πραγματική Ανάλυση



1. Περιεχόμενο του μαθήματος

  • Στοιχεία από τη θεωρία συνόλων (αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα, αριθμησιμότητα του συνόλου των ρητών και υπεραριθμησιμότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών).

  • Μετρικοί χώροι (ορισμοί, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα, τοπολογικές έννοιες, ισοδύναμες μετρικές, φραγμένα και ολικά φραγμένα σύνολα).

  • Συνέχεια συναρτήσεων σε μετρικούς χώρους: σημειακή (τοπική) συνέχεια και (ολική) συνέχεια, ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. Ισομετρίες, συναρτήσεις Lipschitz, ομοιόμορφη συνέχεια.

  • Πληρότητα: πλήρης μετρικός χώρος (ορισμός, βασικές ιδιότητες, παραδείγματα). Θεωρήματα σταθερού σημείου (και εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις). Θεωρήματα Cantor και Baire και εφαρμογές.

  • Συμπάγεια: ορισμός (με ανοικτές καλύψεις), και βασικές ιδιότητες. Συνέχεια συναρτήσεων και συμπάγεια. Χαρακτηρισμοί της συμπάγειας με τη βοήθεια της ιδιότητας Bolzano-Weierstrass και της έννοιας του ολικού φραγμένου. Πεπερασμένο (καρτεσιανό) γινόμενο συμπαγών μετρικών χώρων.

  • Διαχωρισιμότητα.

  • Σύνολο Cantor.

  • Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων: απλή και ομοιόμορφη σύγκλιση (ορισμοί, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα). Κριτήριο Weierstrass (για την ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων). Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια, ολοκλήρωση και διαφόριση.

  • Συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις σε συμπαγείς μετρικούς χώρους: Θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass. Η δομή του μετρικού χώρου C(X), όπου συμπαγής μετρικός χώρος. Συμπάγεια και ισοσυνέχεια στον C(X). Θεώρημα Ascoli-Arzela και θεώρημα Peano.

2. Βοηθήματα

  • W. Rudin: Αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης.
  • Κ. Σταθακόπουλος: Πραγματική Ανάλυση.
  • Γ. Σταύρακας: Σημειώσεις Πραγματικής Ανάλυσης.

3. Ηλεκτρονική σελίδα του μαθήματος

Στη διεύθυνση http://eclass.uoa.gr/courses/MATH244 μπορείτε να βρείτε υλικό για το μάθημα (ανακοινώσεις, σημειώσεις, ασκήσεις).



Powered by Plone CMS, the Open Source Content Management System

This site conforms to the following standards: