Μετάβαση στο περιεχόμενο. | Μετάβαση στην πλοήγηση

ΕΦΜ1 Μέθοδοι Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Ι

 

Εισαγωγή στη Διαστατική Ανάλυση και Κανονικοποίηση.
Μέθοδοι Διαταραχών: Κανονική διαταραχή. Ιδιόμορφη διαταραχή. Ανάλυση του οριακού στρώματος. H προσέγγιση WKB. Ασυμπτωτικά αναπτύγματα ολοκληρωμάτων (ολοκληρώματα Laplace, παραγοντική ολοκλήρωση, μέθοδος στάσιμης φάσης).
Μοντέλα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων: Εισαγωγικές έννοιες. Εξισώσεις διάχυσης (νόμοι διατήρησης, καταστατικές εξισώσεις, η εξίσωση θερμότητας).
Εξισώσεις ισορροπίας (η εξίσωση του Laplace, ολοκληρωτικές ταυτότητες).
Αναπτύγματα σε ιδιοσυναρτήσεις (το πρόβλημα των ιδιοτιμών για διαφορικούς τελεστές, η μέθοδος του Fourier.
Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί (Laplace, Fourier).

Λογισμός Μεταβολών.
Μεταβολικά Προβλήματα. Συναρτησοειδή. Παραδείγματα. Υπενθυμίσεις των συνθηκών μεγίστου-ελαχίστου πραγματικών συναρτήσεων μίας και περισσοτέρων πραγματικών μεταβλητών.
Γραμμικοί χώροι με νόρμα. Παράγωγοι συναρτησοειδών. Πρώτη Μεταβολή. Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατα.
Το απλούστατο πρόβλημα. Εξίσωση Euler. Γενικεύσεις σε συναρτησοειδή με παραγώγους υψηλότερης τάξης, σε συναρτησοειδή με πολλές συναρτήσεις και με συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών.
Προβλήματα πολλαπλών ολοκληρωμάτων. Φυσικές συνοριακές συνθήκες.
Χαμιλτονιανή θεωρία. Το αντίστροφο πρόβλημα.
Ισοπεριμετρικά προβλήματα.
Η δεύτερη μεταβολή. Μία ικανή συνθήκη για ακρότατο.
Άμεσες μέθοδοι. Ελαχιστοποιούσες ακολουθίες. Μέθοδος Ritz και μέθοδος πεπερασμένων διαφορών. Το πρόβλημα Sturm-Liouville.


Βιβλιογραφία

I. M. Gelfand, S. V. Fomin, Calculus of Variations, Prentice-Hall, Inc., (1963), New Jersey, U.S.A.
E. Goursat, Cours d’Analyse Mathématique, tome III, Gauthier-Villars, (1927), Paris.
J. D. Logan, Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, Πανεπιστημιακές Eκδόσεις Κρήτης, (2002), Ηράκλειο.
Ε. Αθανασιάδου-Κόττα, Σημειώσεις.
Ν. Αλικάκος, Σημειώσεις.
Ε. Σμυρνέλης, Σημειώσεις.