Μετάβαση στο περιεχόμενο. | Μετάβαση στην πλοήγηση

Σεμινάριο Γεωμετρίας (Χαρακτηριστικές Κλάσεις)

Το εαρινό εξάμηνο 2017-18 θα ενεργοποιηθεί το εβδομαδιαίο Σεμινάριο Γεωμετρίας.

Το θέμα του Σεμιναρίου είναι: "Χαρακτηριστικές Κλάσεις"

Οι διαλέξεις θα γίνονται κάθε Τρίτη στις 15:00, στην αίθουσα Α11. Το σεμινάριο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές μεγάλων ετών, οι οποίοι έχουν επαρκή γνώση Γεωμετρίας και/ή Τοπολογίας από τα σχετικά μαθήματα που προσφέρονται πέραν των υποχρεωτικών, καθώς και σε μεταπτυχιακούς φοιτητές με ενδιαφέρον στη Γεωμετρία/Τοπολογία.

Η πρώτη διάλεξη θα γίνει την Τρίτη 13 Φεβρουαρίου 2018 (15:00, αίθουσα Α11).

Μια διανυσματική δέσμη πάνω από μια πολλαπλότητα είναι μια οικογένεια διανυσματικών χώρων της ίδιας διάστασης παραμετροποιημένη με τα σημεία της πολλαπλότητας. Οι διανυσματικές δέσμες εμφανίζονται με πολύ φυσικό τρόπο

όταν μελετάμε μια πολλαπλότητα, και έχουν ενδιαφέρον από μόνες τους, αλλά μας βοηθούν επίσης να εξάγουμε συμπεράσματα για την ίδια την πολλαπλότητα. Το πιο σημαντικό παράδειγμα μιας διανυσματικής δέσμης
είναι η εφαπτόμενη δέσμη. Μια τομή είναι η επιλογή (με λείο τρόπο) ενός διανύσματος πάνω απο κάθε σημείο της πολλαπλότητας. Οι τομές της εφαπτόμενης δέσμης είναι τα διανυσματικά πεδία.

Οι διανυσματικές δέσμες είναι τοπικά τετριμμένες (γινόμενο ενός ανοιχτού υποσυνόλου της πολλαπλότητας επί το διανυσματικό χώρο). Ένα ερώτημα που μπορούμε να θέσουμε είναι πότε μια δέσμη είναι (ολικά) τετριμμένη (με άλλα λόγια έχει γραμμικώς ανεξάρτητες σε κάθε σημείο τομές που την παράγουν) ή, πιο γενικά, πότε έχει έστω μια τομή που δε μηδενίζεται ποτέ. Η προσπάθεια να απαντηθούν ερωτήματα τέτοιου είδους οδήγησε στην ανακάλυψη των χαρακτηριστικών κλάσεων, οι οποίες είναι κλάσεις συνομολογίας που κωδικοποιούν πληροφορίες για το πόσο απέχει μια δέσμη από το να είναι τετριμμένη (ή αλλιώς πόσο συνεστραμμένη είναι).

Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις για την κατασκευή των χαρακτηριστικών κλάσεων. Στο πρώτο μέρος του σεμιναρίου, ακολουθώντας το [1], με πολύ εύκολο τρόπο και με τα ελάχιστα προαπαιτούμενα (με βασικό εργαλείο την ακολουθία Mayer-Vietoris και μια γενίκευση της που θα αποδείξουμε) θα δώσουμε μια πολύ "γεωμετρική" κατασκευή της κλάσης Euler. Με βάση αυτή θα ορίσουμε όλες τις άλλες κλάσεις. Ακολούθως, θα αναφερθούμε στην αξιωματική προσέγγιση στις χαρακτηριστικές κλάσεις (που εισήχθη από τον Grothendieck) και θα δείξουμε πως οι κλάσεις που κατασκευάσαμε ικανοποιούν τα επιθυμητά
αξιώματα. Η αξιωματική προσέγγιση (με την οποία υπολογίζουμε με μοναδικό τρόπο τις χαρακτηριστικές κλάσεις απαιτώντας να ικανοποιούν μια σειρά αξιωμάτων) θα μας είναι πολύ χρήσιμη, ώστε να δώσουμε αποδείξεις πως οι κλάσες που προκύπτουν από τις διάφορες προσεγγισεις είναι τελικά οι ίδιες. 
Στη συνέχεια, ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συμμετεχόντων στο σεμινάριο, μπορούμε να δούμε είτε τις καθαρά τοπολογικές προσεγγίσεις ( με χρήση της καθολικής δέσμης), είτε τη γεωμετρική προσέγγιση, όπου οι χαρακτηριστικές κλάσεις υπολογίζονται ως η καμπυλότητα της δέσμης (θεωρία Chern-Weil) (αν
το επιτρέψει ο χρόνος μπορούμε να δούμε και τις δύο).

Θα γίνει προσπάθεια να ελαχιστοποιήσουμε τις προαπαιτούμενες γνώσεις για την παρακολούθηση των παρουσιάσεων. Το μόνο ουσιαστικό προαπαιτούμενο είναι βασική γνώση διαφορικών μορφών και συνομολογίας de Rham, καθώς και κάποια βασικά αποτελέσματα σχετικά με αυτές(λήμματα του Poincare, Poincare duality).

Οι παρουσιάσεις θα γίνουν ως επί τω πλείστον από τον υποψήφιο διδάκτορα Παναγιώτη Χρήστου. Οι συμμετέχοντες ενθαρρύνονται να αναλάβουν κι αυτοί κάποια παρουσίαση.

Εκτός από το [1], να αναφέρουμε τη βασική αναφορά, για την τοπολογική κυρίως θεωρία, που είναι το βιβλίο των Milnor και Stasheff [2], καθώς και το βιβλίο του Chern [3] που έχει ένα πολύ ωραίο παράρτημα για την ιστορία των χαρακτηριστικών κλάσεων. Στη διάρκεια του σεμιναρίου θα δοθεί επιπλέον βιβλιογραφία.

Αναφορές:
[1] R.Bott, L.W.Tu, Differential Forms in Algebraic Topology
[2]J.W.Milnor, J. Stasheff, Lectures on Characteristic classes
[3] S-S. Chern, Complex manifolds without potential theory


Ι. Ανδρουλιδάκης , Δ. Λάππας